Automatismes Maths

⚡ Automatismes du Brevet : la fiche essentielle

La partie automatismes du DNB vérifie si tu sais mobiliser rapidement des méthodes courtes, souvent sans calculatrice. L'objectif n'est pas de rédiger une longue solution : il faut reconnaître le type de question, choisir le bon réflexe et vérifier que le résultat est cohérent.

1. Les réflexes de calcul à connaître

• Priorités de calcul : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, puis additions et soustractions. À priorité égale, on calcule de gauche à droite.
• Nombres relatifs : même signe, on additionne les distances à zéro ; signes différents, on soustrait et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro.
• Fractions : pour additionner ou soustraire, utilise un dénominateur commun. Pour multiplier, multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser par une fraction, multiplie par son inverse.
• Fractions et décimaux : $0,5 = \frac{1}{2}$, $0,25 = \frac{1}{4}$, $0,75 = \frac{3}{4}$ et $0,1 = \frac{1}{10}$.
• Puissances : $10^3 = 1\ 000$, $10^{-2} = 0,01$ et $a^2 = a \times a$. Une puissance de 10 décale la virgule.

2. Pourcentages et proportionnalité

• Calculer un pourcentage : $20\%$ d'une quantité revient à multiplier par $0,20$, ou à prendre $20$ pour $100$.
• Augmentation de $t\%$ : multiplie par $1 + \frac{t}{100}$. Une hausse de $15\%$ correspond au coefficient $1,15$.
• Réduction de $t\%$ : multiplie par $1 - \frac{t}{100}$. Une réduction de $30\%$ correspond au coefficient $0,70$.
• Proportionnalité : vérifie que le quotient reste constant. Pour compléter un tableau, passe par l'unité ou utilise un produit en croix.

Exemple : $30\%$ de $80$ vaut $0,30 \times 80 = 24$. Après une réduction de $30\%$, il reste donc $80 - 24 = 56$.

3. Conversions et grandeurs

• Longueurs : chaque changement d'unité déplace la virgule d'un rang. $1\ m = 100\ cm$ et $1\ km = 1\ 000\ m$.
• Aires : chaque changement d'unité déplace la virgule de deux rangs. $1\ m^2 = 10\ 000\ cm^2$.
• Volumes : chaque changement d'unité déplace la virgule de trois rangs. $1\ m^3 = 1\ 000\ dm^3$.
• Durées : $1\ h = 60\ min$ et $1\ min = 60\ s$. Une heure et demie correspond à $1,5\ h$ ou $90\ min$.
• Vitesse : pour passer de km/h à m/s, divise par $3,6$ ; pour passer de m/s à km/h, multiplie par $3,6$.

Attention : une aire et un volume ne se convertissent pas comme une longueur. Vérifie toujours l'unité demandée à la fin.

4. Équations et fonctions

• Équation : fais la même opération aux deux membres. Pour $x + 7 = 12$, on soustrait $7$ : $x = 5$.
• Produit nul : si $A \times B = 0$, alors $A = 0$ ou $B = 0$.
• Image d'un nombre : dans $f(x)=3x-2$, remplace $x$ par le nombre demandé. Ainsi $f(4)=3\times4-2=10$.
• Lecture graphique : l'abscisse se lit horizontalement et l'ordonnée verticalement. Un point de coordonnées $(x;y)$ se lit dans cet ordre.

5. Formules de géométrie à automatiser

• Périmètre du rectangle : $P=2\times(L+l)$ ; aire : $A=L\times l$.
• Aire du triangle : $A=\frac{base\times hauteur}{2}$.
• Aire du disque : $A=\pi\times r^2$ ; périmètre du cercle : $P=2\pi r$.
• Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, si $c$ est l'hypoténuse, alors $c^2 = a^2 + b^2$.
• Probabilité : dans une situation équiprobable, $P(E)=\frac{f}{n}$, avec $f$ cas favorables parmi $n$ cas possibles.

6. Stratégie pour réussir la partie automatismes

1. Lis toute la question et repère les données ainsi que l'unité.
2. Identifie le réflexe demandé : pourcentage, conversion, formule, lecture de graphique ou calcul numérique.
3. Calcule proprement, même mentalement : écris une étape intermédiaire si elle évite une erreur.
4. Estime le résultat avant de répondre : une longueur ne peut pas être négative et une probabilité est comprise entre $0$ et $1$.
5. Garde quelques minutes pour vérifier les signes, les unités et la virgule.

Les erreurs les plus fréquentes : oublier les priorités de calcul, confondre augmentation et réduction, déplacer la virgule du mauvais nombre de rangs, mélanger rayon et diamètre, ou donner un résultat sans unité.