Le théorème de Pythagore fait partie des incontournables absolus de l'épreuve de mathématiques du Brevet des Collèges. Qu'il s'agisse d'un exercice de géométrie pure ou d'un problème avec situation concrète (calculer la hauteur d'un mât, vérifier l'équerre d'un mur), vous devez maîtriser à la fois la formule et la rédaction type exigée par les correcteurs.
Pour vous aider, vous pouvez télécharger la fiche récapitulative au format PDF ci-dessous pour l'imprimer ou la garder sur votre téléphone.
1. L'Énoncé du Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :
Rappel de vocabulaire :
- L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
- C'est toujours le côté le plus long du triangle rectangle.
2. À quoi sert le Théorème et comment bien rédiger ?
Le théorème direct sert à calculer la longueur d'un côté quand on connaît déjà les deux autres dans un triangle rectangle.
Modèle de rédaction Brevet (pour avoir tous les points) :
- On cite la condition préalable : "Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore :"
- On écrit l'égalité avec les lettres :
BC² = AB² + AC² - On remplace par les valeurs connues :
BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 - On utilise la racine carrée :
BC = √25 = 5 cm - On conclut avec l'unité : "La longueur BC mesure donc 5 cm."
Le piège classique au Brevet :
Si l'on cherche un côté de l'angle droit (et non l'hypoténuse), n'oubliez pas de soustraire !
Exemple : AB² = BC² - AC².
3. Réciproque et Contraposée : Démontrer qu'un triangle est rectangle ou non
Au Brevet, une question très fréquente est : "Le triangle est-il rectangle ?". Voici la méthode infaillible en deux calculs séparés :
| Situation | Ce que l'on calcule | Conclusion |
|---|---|---|
| Le triangle est rectangle | D'une part BC², d'autre part AB² + AC². Les deux résultats sont égaux. |
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. |
| Le triangle n'est PAS rectangle | D'une part BC², d'autre part AB² + AC². Les deux résultats sont différents. |
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle. |
Ne commencez jamais par écrire BC² = AB² + AC² quand vous voulez prouver qu'un triangle est rectangle ! Vous devez calculer chaque membre séparément avant de comparer les deux résultats.